数理的処理のよさを感じさせるには

お久しぶりです。今年度は、３年生の学級担任となり、また新たな気持ちで授業に取り組んでいます。ブログはちょっと間隔が空いてしまいましたが、日常の授業や学級経営に関わることをアップしていきたいと思います。

今年の冬に、２年生の算数の助言を頼まれ指導書を読んでいたら、「数理的な処理のよさ」という３０年？以上前からの言葉が目につきました。以前はよく聞く言葉でしたが、今の若い先生方は内容をわかっているのかなと思い、ブログにアップしてみようと思いました。

下の写真は、昨年度の４年生の授業のものです。授業では、「表を使ってきまりを見つけよう」という見通しにしたところ、ほとんどのグループで下の写真のように説明していました。

意図した通りの考えとなりました。しかし、本当にきまりを使うよさを感じることができたのだろうかと疑問に思いました。

そんな時、ある子どもがノートに一生懸命に図を描いていたのを発見しました。

「これは使える！」

と思い、さっそく写真を撮り電子黒板で提示しました。そしたら、「すごい！」という反応でした。何がすごいのかと問うと、

「めんどうくさいのによくやったなあ。」

という意味で「すごい」とのことでした。その後、拍手が起こりました。（というか、教師が価値づけによる拍手でした）

しかし、表と比較検討させると、きまりを使った方がはやくて簡単ということにまとまりました。ここで、なぜはやくて簡単ということを感じることができたかということです。それは、

「比べることでよさが浮き彫りになる」

ということなのです。一つの事例だけで、本当のよさは感じることは難しいと思います。そのことを伝えると、図で描いた人に改めて大きな拍手。この拍手は、よさを感じさせてくれたことに対する拍手です。

数理的処理のよさとはについてまとめてみました。

・数理的処理のよさとは？

子ども自らが日常の事象を算数の問題としてとらえ，既習の見方・考え方や知識・技

能を用いて数理的に処理していく際に，価値付けられる算数の特性のこと

まとめて言えば、

「簡潔・明瞭・一般」のこと

子どもたちには、「はかせどん」（はやい、かんたん、せいかく、どんなときもで

きる）と言っています。

•追体験（直接体験）

　よさを感じさせるには、追体験が有効です。練習問題として追体験させるのもア

リですが、追体験させた後に話し合いをさせることが大切。

•比較する

　よさは比較することによって浮き彫りになる。

•何と比べるのか

　既習の内容と比較 ・他者の考えと比較 ・困難な体験と比較 

今までの自分と比較 ・結果の比較（複数問題等への当てはめ）

•最後に、（ここ大事）

「よさは教えるものではなく、感じさせるもの」

 

分数も小数も整数も、すべて「単位のいくつ分」で説明させる

　４年算数「分数のたし算」

３、４年の分数指導をしていると、分数をたしてしまうという誤答が見受けられます。また、正答であっても、

「なんで分母は足さないの？」

と問うと、

「分子だけ足して分母は足してはいけないから。」

という子どもたちの反応が見られます。

分数指導で必ず心がけたいことは、「単位分数の何個分」という説明をさせることです。１０年以上前に、石田教授から教えていただいた「考える足場」を与えると、分母をたしてしまうという誤答がなくなり、その理由をしっかりと説明できるようになります。

そのために、低学年の

２００＋３００＝５００

という計算も、「１００のいくつ分」という考えで説明させることが大切です。

小数でも、

０．２＋０．３＝０．５の説明

まず、０．２は０．１が２個分

次に、０．３は０．１が３個分

だから、０．２＋０．３は０．１が（２＋３）個分で０．５

というように、単位小数０．１が何個分という説明をさせます。

３、４年の分数のたし算では、小数や整数のこの考え方を考える足場にして説明させます。小数を足場にして説明させると、分数でも分母を足すという誤答がなくなります。

これが高学年で分数のかけ算になっても、整数に帰着した考え方で説明できます。つまり、小学校の算数での十進法は、整数に帰着して指導していることを指導者がつかんでいることが大切です。

（以下、１１年前実践した考える足場の記事です）

https://vaio0819.blogspot.com/2011/02/blog-post_18.html

 

型を示す

 新学期が始まり１か月が過ぎました。今年度は４年生の担任ということでスタートしました。再任用２年目ですが、若者に負けないようにがんばります。

参観日の時に、「かさをつくろう」という小数のひき算の発展的な授業をしました。石田淳一教授の著書にあるものを自分なりにアレンジしてやってみました。

２つのコップを使ってかさをつくるという内容です。なみなみと入れた水を別のコップになみなみ入れると、元のコップに水が残る。つまり、ひき算した答えのかさだけ残るというものです。

これを論理的に表現させるというねらいです。説明の仕方はいろいろありますが、「まず」「次に」「だから」の型で表現させたいと考えました。でも、いきなりこの型で説明しなさいと言ってもなかなか難しいと思い、まず全体で学び合ってこの表現を完成させました。つまり、全体で解決したことを考える足場にするということです。

そしていよいよ主問題２をグループ学習させます。Ｔの文字にするので、「Ｔ字グループ」と呼んでいます。主問題1でやった表現を足場にしているので、どのグループも参考にしながら解いていました。

あるグループだけ、逆の発想をしていました。小さいコップから移す方法です。0.３Ｌなので、0.2Ｌと0.１Ｌでつくっていました。全体の話し合いで、0.１Ｌは半分まで水を入れるという説明でしたが、ちょうど半分というのは無理だということになりました。数学的には目盛りがないコップで半分という表現は、曖昧な言葉になります。

全体の話し合いのあとは、全員がこの表現で説明することができました。

今回の授業では、主問題1を全体で解決し、それを考える足場にして学び合うというものです。いろいろな表現をグループに出させて学び合うというやり方もありますが、論理的な説明をさせる場合は、型を示して教えなければなりません。時間ばかりかかり身につかない授業よりも、効率的で思考力、表現力が身につく授業だと思います。

説明する力を付けさせる算数授業とは？

 先月、市内M小学校の授業研究会にお呼びいただきました。今回は、５年生の三角形の面積を求める問題です。三角形の求積は、過去何度も研究授業でやりましたが、いつも話題になることが、三角形と平行四辺形のどちらを先にやるかということです。教科書によって違うのですが、

◯三角形を先に扱うメリット

　多角形の基本は三角形であるので、三角形を理解することで多角形に派生していくという多角形の本質に迫ることができる。啓林館はずっとこの考えで通しています。

◯平行四辺形を先に扱うメリット

　三角形は平行四辺形の半分という考えからの公式化が容易になり、低位の子どもにも指導しやすい。

　今回の授業では、後者の平行四辺形からの流れでした。５年生の求積では、４年生の「１㎠が何個分」という概念から、既習の図形に変形すれば未習の図形の求積ができるという数学的な考えを養うことをねらいにしています。どちらを先に扱うのかは、子どもたちの現状と指導者の考えによります。

この授業のポイントは、前時の平行四辺形の練習問題の後に、すでに三角形の求積方法の見通しをもたせ、家庭学習で予習させるということです。そうすれば、本時での自力解決の時間が必要なくなり、すぐに話し合いに入れるというメリットがあります。

単元構成の段階で計画的にやる必要がありますが、授業が効率的に行えるということと、授業内容の定着につながるものだと感じました。ずっと前から、「算数日記」という算数の授業の流れを振り返らせるという実践をしてきましたが、先取りをしてくるというやり方もありです。

結果、自分の考えと同じものに自分のマグネットネームを貼るなど、一人一人がしっかりと考えをもって臨んでいました。

グループで学び合いましたが、考え方別のグループ学習でした。自分も過去実践したことがありました。

◯同質の考え方グループのメリットは、メンバーが同じ考えなので、すぐに確認しながら考えを深めることができる。

△デメリットは、その都度人数調整する必要がある。

◯異質の考え方グループのメリットは、どの考え方が効率的で数学的なのかを比較検討することができる。

△デメリットは、強く主張する子どもの考えに引っ張られ、弱い子どもの考えが潰れることがある。

というわけで、これも授業者の考えやクラスの実態に合わせてやり方を変えてみることです。今回の授業での一番のポイントは、説明の仕方を教えるということだと思います。授業者の先生は、以下のようなポイントを事前に与えていました。

①どのようにして何の図形に変形したのか。

②どんな式になったか。

③使った公式

④どのように考えて面積を求めたのか。

ということです。写真のように、項目に沿って説明していました。このようなポイントを示さないと、式だけ書いていて言葉で説明できないということがあります。ですから、このようなポイントを与えるということが有効だったということです。

この日の事後研究会では、私の考えを以下のように述べさせてもらいました。

１　前時の終わりに本時の見通しをするという点について、意識付け、意欲付けという点で家庭学習で自力解決させることは、定着につながっている。

２　「説明する」について、４つの視点を与えることは、説明の仕方を理解させ、論理的な思考につながっていく。さらに、今回の授業の評価も容易になってくる。ちなみに自分は、「まず」「次に」「だから」という言葉を使って説明させてきた。

３　考え方別のグループ学習について（前述の通りの内容）また、図形の説明の場合は、A,B,C…を用いて説明させたい。

４　全体の学び合いについて、倍積変形などの新しい考え方を等積変形との違いを浮き彫りにしながら「÷２」に着目させて話し合わせ、考えを広げたり深めたりできる話し合いをさせたい。

５　全体の話し合いの後、自分が選んだ方法について、一人一人にしっかりと説明を書かせて評価にしたい。

最後に、１１月に届いた教育事務所からの文書と関連付けて話しました。

〜文書より抜粋〜

＜説明させる授業で考えておきたいところ＞

・どんな力をつけたいのか。必要な数学的な見方・考え方は？

・どんな説明を求めているのか。「事実」？「方法』？「理由」？

・説明に何を含めればいいのか。正答の条件は？

・どんな説明を書かせたいのか。「説明」のモデルを持っているか？

　今回は、説明のモデルを用いて説明のイメージを持たせながら、つけたい力を明確にしているという授業でした。算数では、自分の考えを、簡潔・明瞭・的確に表現することを重視し、これからの社会を生き抜く上で大切な資質・能力であると捉えています。「説明させる」ことに力を向けての授業を仕組みたいものです。

数学的な効率性で深く考えさせる

今年度、6年3クラスの算数を担当していますが、同じ授業でもクラスによって出される考えが違います。だから、全体の話し合いの流れが微妙に変わります。しかし、流れが変わっても取り上げる考え方の順番は決まっていると思います。

本時は、４人でリレーの順番の決め方は何通りあるかという順列の問題です。落ちや重なりがなく順序よく数えるというめあてにしました。

まずは１組。

各グループの考えが、期待していた通りに出されました。

ら

まずは、表で考えたグループ。最初のＡを固定していますが、2番目のＢは固定していません。

次は、2番目のＢも固定しています。

次は、樹形図に近いやり方です。Ａは1回しか書いていないので効率的です。

出ました！樹形図。最後まで枝分かれして、落ちや重なりがなく効率的です。

今の順番でホワイトボードを並べて提示しました。グループ分けは、できるだけ子どもたちにやらせます。でも、より数学的な考えに並べるのは、教師の役割だと考えています。（慣れてくれば子どもたちでできますが）

次は２組の授業です。

初めの考えは誤答ですが、私は誤答が出ると嬉しくなります。なぜなら、比較することで正答のよさが浮き彫りになるからです。下の考えは、Ａを固定していますが、2番目のＢを固定していないので、落ちが出てしまいました。そういうことを考えさせてくれたということで、誤答のグループには拍手👏します。

次は、落ちはないのですが、Ｂを固定していないやり方です。固定しないと、落ちをつくってしまう可能性があります。

これは、Ｂも固定しています。落ちや重なりの可能性が減ります。

そして出ました。樹形図！しかも、Ａの場合を書いただけで、あとは同じ数になるから、6×4で計算しています。

板書は以下のようになりました。これも、効率性を考えて並べています。

そして最後は３組です。

他のクラスにもありましたが、最初だけ固定しています。でも、よく見るとＢ以降は2番目を固定するよさに気がついています。ここは取り上げるべきでしょう。

2番目も固定しています。

全て書かなくても、Ｂ以降も同じ数になることに気づき、6×4で計算して出しました。

そして樹形図のよさが浮き彫りになりました。

板書は以下のようになりました。３組も数学的な効率性の順に並べています。

このように、ホワイトボードの並べ方を『はかせどん』（はやい、かんたん、せいかく、どんなときも）という数学的な効率性の順に並べて考えさせることにより、数理的な処理のよさに気づけるようになります。さらに、そのよさを説明できるように工夫をすれば、深く考えさせることができます。

 

比例が「かけわり図」へと発展

久しぶりのアップになります。

　現在、６年生の３クラスの算数を担当しています。教科担任制の先駆けとして、６年だけですが教科担任を中心として学習指導を行なっています。

　教科担任のメリットとしては、教材研究や授業の準備が楽になる、また、学年全体が同じ歩調で進でられるということでしょうか。デメリットとしては、他のクラス担任が、算数の力を把握できないということですね。その辺は、毎日のように授業の様子を担任に伝えられるようにしていますが・・・。

　さて、今回の授業。比例の活用です。

　画用紙３００枚という枚数は、重さや厚さと比例しますが、比例関係のきまりを用いながら数えないで３００枚を用意するという課題になります。 　

　比例には、横の見方（一方の値を２倍、３倍、４倍・・にするともう一方２倍、３倍、４倍・・になる）と、たての見方（一方の値にきまった数をかけるともう一方の値になる）を学習しますが、両方の見方をさせたいというのが今回のねらいです。

　このクラスでは、横の見方のグループがほとんどで、１つのグループがたての見方でも解いていました。たて横どちらでもよいのですが、この場合は、横の方が簡単です。たての見方では、９２÷１０をして９．２倍を導き出すことが必要になります。

　ただ、別の場合ではたての見方の方が簡単な場合があります。それを主問題２として個人学習で行います。

　たて横両方できるようにした後、これを「かけわり図」という言葉でおさえます。教科書には書いていませんが、このかけわり図は、比例関係の問題ではかなり有効です。◯は△の何倍かということさえ計算できれば、かけ算でもわり算でもすぐに答えを導き出すことができます。このかけわり図は、２０年以上前にある校長先生から教わったものです。それ以来、このかけわり図を子どもたちに教え続けています。

少人数学級で、協働的に表現力や思考力を身に付けさせる 〜２つの学校の飛込授業より〜

 ＜飛込授業その１＞

２０２０年１２月４日　南陽市立漆山小学校にて５年生のクラスにて飛込授業をさせていただきました。この授業は、８年前、米沢市立西部小学校に勤務していた時に、石田教授と共に学び合いの本を執筆なさっていた先生を石川県からお呼びして、示範授業をしていただいた時の授業 です。

ともなって変わる２つの数を表で表し、きまりを見つけて解く問題です。きまりさえ見つけられれば簡単ですが、二次関数の要素があるので、きまりに気付くまでに時間がかかるというものです。 

今回は、協働的な学び合いの校内研修会ということで依頼されましたので、授業の初めから相談させたりと、随所に学び合いの要素を取り入れました。

めあてに、きまりを見つけるという言葉を入れて見通しを立て、しかも表の１部分を提示していたので、個人学習では全員が考えを持って解いていました。1人だけピラミッドを実際に描いていましたが、他の子どものやり方と比べ、時間がかかりそうだと思って表を作ってきまりを見つけていました。自分の考えを他の考えを比べ、自ら「はかせどん」に気付いた場面でした。この、「自ら気付く」ということが、考える力になるのだと思います。

グループから出されたやり方は、ほぼ同じように、表を途中までかけば、「段の数×段の数」というきまりに気付くことができました。

ほぼ同じような考えの場合は、表現のよさについて語らせます。

・言葉で書くことのよさ

・式や表で表すことのよさ

このような話し合いをしていくと、さらに伝わりやすい方法を考えるようになります。文章表現の場合も、「まず」「次に」「だから」という言葉を使うことや、できるだけ無駄なく簡潔に文章化することなどを考えさせます。（表現力、論理的思考力）

最後の振り返りでも、きまりを見つけると簡単であることを実感していた人が多かったようです。今回も、グループ学習のよさが見られた授業になりました。

＜飛込授業その２＞

次に、２月１７日、飯豊町立添川小学校で飛込授業をさせていただきました。

今回は４年生ということでしたが、前の小学校で５年生に行った授業ができないかと考えました。なぜなら、きまりに気付きさえすれば、４年生の「変わり方」という単元で学習したことが使えるからです。

この学校の４年生は８人ということで、グループにすれば２つか３つになるわけですが、コロナ対策ということもあり、全員前向きで８ペアでの学び合いにしました。気付きでも、「ピラミッドであること」「正方形の数」「２つずつ増えていること」など、本時のねらいに添った意見が出されました。

まずは個人学習。前の学校では、表まで提示する見通しでしたが、「変わり方」の単元を学習済みということを聞いて、少し考えさせてもよいかなと思い板書しませんでした。しかし、ほとんどの子どもたちは、ともなって変わる２つの数から表を作り、きまりを見出そうとしていました。

ペア学習では、考え方の違うペアや、片方が誤答になっているペアがありました。考え方が違うペア（グループ）では、強く言った子どもの意見に流されやすくなることがありますが、みんな自分の考えをしっかりと伝え合っていました。表の数字が間違っていた人は、話し合いにより誤答に気付きました。これが学び合いのよさでもあります。

４つのペアそれぞれの考えをホワイトボードに書いて、黒板に貼ってもらいました。同じ考えをくっつけて貼ることを伝えました。同じ考え同士をくっつけて提示するのは、全体の学び合いの場面で見やすくするという理由もありますが、それよりも共通点や相違点をはっきりさせておくためです。共通点や相違点をはっきりさせることで、比べる見方ができるようになり、「はかせどん」という数理的な処理のよさに気付かせることにつながるのです。

写真の左の２つは、増える数が２ずつ増えることに気が付き、１０段まで書いて求める方法です。４年生では、増える数がいくつという学習はしてきたものの、増える数が２ずつ増えるというのは扱っていないと思うので、これに気付くのはなかなか難しいと思いました。

右の２つは、表を最後まで書かなくても、段の数×段の数なので、公式化すればわかるというものです。ペア学習の時に、すでにこのことに気付いていた女の子がいましたので、全体の学び合いで活躍してもらおうと考えていました。

どちらがはかせどんかということを考えさせる時に有効なのが、

「１００段の時の正方形の数は？」

という発問に対して、どちらが速く、正確に、どんな数でもできるのかということに目を向けさせます。そうすると、すぐに２乗する方法を使い、

「１００×１００＝１００００個です」

と答えます。

もちろん、増える数が２ずつ増えるという考えの着眼点のよさなども取り上げ、みんなで作り上げた学び合いであることを実感させます。はかせどんも効率的で良いけれど、それぞれの考えのよさに気付かせることも、学び合いで大切にしたいと思っています。

授業の後、２つの学校で、講演までさせていただきました。自分の拙い実践がお役に立てれば嬉しい限りです。

授業と講演をさせていただき、自分の学び合いの実践を理解していただくことができました。さらには、自分自身の学びにもなり、成長することができました。

本当にありがとうございました。

追記；授業の初めに、「先生は何歳に見える？」という問いに対して、半数が３０歳と忖度していただき、とてもうれしかったです。