わり算の説明は、たし算の説明を足場にして

新規採用のI先生（３年担任）が、校内の新採研で算数の授業をしました。その授業は拝見できませんでしたが、指導者の先生が写真を撮っていましたのでアップしました。

６０÷３の考え方を説明しようという授業です。I先生も足場の授業に挑戦しているので、足場を何にしたのか尋ねたところ、６÷３の考え方を足場にしてみたということでした。

そして一人一人に説明を書かせました。

この子供は、図で説明しています。算数では、式や図も説明になります。しかし、この図を言葉で説明できなければなりません。６０は１０が６つ分であることを示し、６つを３でわったということを示しているのでしょう。つまり、１０を一つの単位として考えています。

この考えも１０を一つの単位としてとらえている図ですが、「６÷３＝２　それに６０の０をたして２０」という表記が数学的な説明ではありません。これでは、６０÷３０の説明ができなくなります。

これも６０の０を答えにくっつけたという説明の式です。上の子供と同じように、数学的な説明になっていません。

九九にないので、２０までのかけ算を３ずつたしていった考え方です。しかし、どんな数でもできる考え方ではありません。（効率的でない）

６÷２ということを足場にしているので、その計算を利用しているが、やはり、「０をとって」「０をたして」という表現が気になります。（これが後々尾を引くので・・）

６０は１０が６こという点で、かなりいい線いってます。しかし、やはり「０をつけて」という表現になってしまいました。

１０を単位に考えてはいますが、それを有効に活用しているとは言えません。「１０まいずつ３人に配れば３０は残らないと思います」という意見が出そうです。

このようにいろいろな表現があり、４５分でこれらを一つ一つ検討する時間的な余裕はありません。しかも、「０をたす」「０をつける」などの説明をどう指導してよいのでしょうか。

【６０÷３の説明の例】
まず　６÷３＝２　です。
次に　６０は１０が６こ分なので、６０÷３は１０が（６÷３）こ分
だから　１０の２こ分で２０です。


などのように、「まず」「次に」「だから」などの説明のパターンを教えたいと思います。さらに、このような説明をさせるのに有効な足場は何かと考えると、６÷２でよいのだろうか。６÷２を説明させても、１０を単位としての考えは出てこないのです。


たとえば、４０＋２０を説明しよう！という足場はどうでしょうか。

まず　４０は１０が４こ分　
次に　２０は１０が２こ分
だから、４０＋２０は１０が（４＋２）こ分なので６０です。

という説明を足場にしたら、６０÷３を説明するのに「０をつけて」「０をとって」という表現は出てこなくなります。足場の板書をしっかり見せて、主問題の説明を全員に確実に書かせたいものです。このような足場を提示していくと、かけ算や小数、分数でもこの考え方が使えるという数学的な考え方（帰納的・類推的思考）ができるようになります。

ちょっとした足場の工夫が、考える力をつける

４年「式と計算」という単元です。

今日は、工夫してけいさんしようという目標です。例年、ここの学習内容を教えていて気づくのは、計算方法を工夫するより、筆算でやったり前から順々に計算したりする方がずっと簡単だという子供が必ずいます。

前時までに、交換のきまり、分配のきまり、結合のきまりというおなじみの法則を学習してきました。□とか△とか○でわかりやすく公式化しています（黒板左）が、苦手な子供はこれが数値に見えません。わけのわからぬ壁画の文字みたいな感覚なんでしょうね。

そこで、足場を何にするかをずっと考えていました。
 今日の主問題は、
①　７８＋５６＋４４
②　９９×８
③　２５×２４

どれを見ても裏側に１００という数字が見えるかどうかがカギとなります。この１００があるととても簡単に答えが出せるということを足場にしてみようと考えました。

＜考えるステップ（足場）＞
Ｔ；「３桁＋２桁をパッと答えを出してもらいます。筆算したい人はどうぞ！」と言った後、問題を画用紙で隠しておき、すぐに答えを言わせました。

『１００＋５２』　計算が苦手な子供も、おやっと言うような目をしましたが、次の瞬間にやりとして
Ｃ；「１５２！」と大きな声。
Ｔ；「どうしてすぐに求められたのですか？」
Ｃ；「１０は、十の位と一の位が０だからそのまま５２を足すだけだからです。」
さらにしつこく類似問題。
次は、かけ算で、１００×２８＝？と同様に提示。これもなぜ簡単に求められたかを確認しました。

つまり、足場でたし算やかけ算の中に１００を見いだすことができれば、答えは簡単に求められるという認識を深めました。

そこで、 本時は
①　７８＋５６＋４４
②　９９×８
③　２５×２４　　ということなので、
Ｔ；「この中に１００が見えませんか？」と発問。
①は容易に全員発見！②は、「９９が１００だといいんだけどなあ」と誘導していくと、１００－１に気づきました。③はちょっと難しかったみたいですが、以前から「２５×４＝１００って覚えておこう」と３年生の時から言っていたのを気づいた子がいました。ところが、「４なんてないよ！」という他の子供の反応。でも、みんなこの時に気づいたのでした。２４って、４×６だったということを。そこで、全員納得！

今日の成果は、１００があると簡単だということを足場にして、「１００が見えるかな？」という発問により、簡単に式を変形していけばよいことに気づいたことです。

今までの自分の授業では、何が何だかわからないうちに、先生が黒板に書いたとおり式を変形してわからないままに授業が終わるという子供もいましたが、この足場を使えば、苦手な子供でも工夫する意味がわかり、きまりを使えばはやく簡単になることをつかむことができました。

ちょっとした足場の工夫が考える力をつけることにつながります。

なぜ（ ）は先に計算するのか

先日、教育委員会訪問がありました。その時の授業です。

４年算数「式と計算」（教育出版）第１教時

考える足場を何にしようかと考えました。簡単な数字の２つの式を、１つの式で表すことについて考えさせることを足場にしてみました。

６－２＝４　　　４－３＝１　　　　　　

Ｔ；「これを１つの式で表すにはどうしますか？」
 容易に、
６－２－３＝１
という式が出ました。これは既習です。ここで、他に方法はないかと尋ねると、（　　）を使えば表せそうだという反応。
６－（２＋３）　
Ｃ；（　　）の中は５なので　６－５＝１です。
 と答えた子供がいました。 答えは同じになることはわかりましたが、なぜ足し算になるのかを考えてみることにしました。

ここで主問題１（所持金５００円、パン２３０円、ジュース１５０円を別の店で別々に買った場合）

５００－２３０＝２７０　　　２７０－１５０＝１２０（円）

これを１つの式にしましょうということで、

５００－２３０－１５０＝１２０という式は容易に出ました。

次の場面（所持金５００円、同じ店でパン２３０円とジュース１５０円をまとめて買った場合）

ここで、
持っていたお金　－　　パンとジュースのねだん　　＝　おつり
という言葉の式をヒントに考えさせました。
（　　）を使えばいいという声が上がったので、
Ｔ；「（　　）を使って１つの式にすると、どうなりますか？」
Ｃ１；「５００－（２３０－１５０）です」
Ｃ２；「違います。（　　）の中は２３０＋１５０です。」
 Ｃ１の子供は、引き算の問題だから引き算にしたのに・・・という表情。
Ｔ；「２つを引く計算なのに、どうして２３０と１５０をたすのでしょう？」

２つを引くのに、たし算になることの説明ですが、頭の中では理解できているのになかなか説明がつきません。ペアで話し合ってもなかなかうまい表現が出てこない様子でした。その時、
Ｃ３；「パンとジュースをまとめて買ったから足し算です。」
この、「まとめて」という言葉から、足し算であることが理解できたようです。
Ｃ４；「考えるステップも（　　）の中が足し算になってる！」
と気づいた子供もいました。ステップ（足場）で足し算になることの疑問が解けました。数値だけだとわからなかったけれど、「まとめて」という意味を考えれば納得できるということですね。

次の時間では、（　　）を先に計算するというきまりを学習しましたが、この時間の（　　）の意味理解をしっかりしておいたおかげで、（　　）の中を先に計算することを容易に理解できました。

活用力をつけるために、みんなでつくる足場へ

ちょっと目が悪くなったかなと思ったら、写真がブレていました。（見にくくてごめんなさい！）

今日の問題は、活用力を身につけるための問題ということで、いつもと違って班ごとの話し合いを中心にして考えさせ、一人一人にきちんと説明させたい思いました。もちろん、問題把握はていねいにしながらも、足場を自分たちでつくらせたいと考えました。

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（問）本棚を作るのに、長方形の板３枚、正方形の板４枚、くぎが２４本必要で、今持っている材料は、

長方形の板５２枚
正方形の板５８枚
くぎ３１５本

この材料で、最大いくつの本棚を作れるかというのが、本時の問題です。


考える足場の指導では、３つの段階があります。

１．先生が与える足場
２．先生といっしょにつくる足場
３．自分たちでつくる足場

単元の最後ということもあり、既習事項も容易に想起できそうだと予想したので、３番目の自分たちでつくる足場をやってみようと思いました。

問題提示の後、考え方をみんなで話し合いました。わりと簡単に３つの式が出ました。

５２÷３＝１７・・・１（長方形の板）
５８÷４＝１４・・・２（正方形の板）
３１５÷２４＝１３・・・３（くぎ）

この後、グループで答えはいくつなのかを話し合わせました。グループであれば既習を使って解決できるだろうと考えました。班の中で１３だろうという声が聞こえてきました。ある班は、
１７＋１４＋１３＝４４こ　　という考えをしていました。
T「どうして全部たしたの？」
と聞くと、
C「・・・・・・・」

ここで、ハッと思いました。子供たちは、

５２÷３＝１７・・・１（長方形の板）
５８÷４＝１４・・・２（正方形の板）
３１５÷２４＝１３・・・３（くぎ）　　　　　　という式や商の意味を理解していないということです。ある男子は、
「長方形は１７まいで・・・・」
と言っていました。

もう一度全体で商の意味を確認。長方形だけに着目した場合、本棚を作れるのが１７個分だと理解するまでに、けっこう時間がかかりました。

ということがわかれば、答えが１３だということを容易に気がつきました。

ところが、説明できずに苦しんでいます。答えは１３でいいんだけど、どう言えばよいかがわからないということでしょうね。

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全体の学び合いで、長方形は１７個分できますが、正方形とくぎが足りなくなり、正方形は１４個分できますが、くぎが足りなくなります。くぎは１３個分できますが、長方形も正方形も足りるので答えは１３です。
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説明がきちんと出来た人は、数名でした。ここでは、説明の仕方をきちんと指導しました。

なかなか説明できなかった原因は、

１　数値や式が多すぎて、意味把握が困難だった。
２　このような説明の仕方に慣れていない。
３　商の意味を理解できなかった。　　　　　　などでしょうか。

今回の「みんなでつくる足場」をやってみて、考えたことがいくつかありました。

（１）説明も足場が必要
（２）商の意味を、早いうちに教えておく
（３）図などを用いて考えさせる
（４）類似問題を足場にすることも考えられる（与える足場）

みんなでつくる足場の授業は、単元の終わり頃にふさわしいと思いますが、活用力をつけるために独特なアイディアが必要なものについては、やはり足場があったほうがよいのかもしれませんね。